Für rechtwinklige Dreiecke (γ = 90°). Alle Längen in derselben Einheit eingeben, das Ergebnis hat dieselbe Einheit.
Der Satz des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten am rechten Winkel Katheten (a und b), die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel Hypotenuse (c). Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten:
Beispiel: Ein Bildschirm ist 121 cm breit und 68 cm hoch. Die Diagonale beträgt √(121² + 68²) = √(14.641 + 4.624) = √19.265 = 138,8 cm – das sind 54,6 Zoll (siehe Zoll-Rechner).
Pythagoreische Tripel
Bei diesen ganzzahligen Seitenlängen geht der Satz des Pythagoras ohne Kommastellen auf. Handwerker nutzen das 3-4-5-Dreieck, um rechte Winkel abzustecken.
| a | b | c | Probe |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 6 | 8 | 10 | 36 + 64 = 100 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 9 | 12 | 15 | 81 + 144 = 225 |
| 9 | 40 | 41 | 81 + 1600 = 1681 |
| 12 | 16 | 20 | 144 + 256 = 400 |
| 12 | 35 | 37 | 144 + 1225 = 1369 |
| 20 | 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
Weitere Größen im rechtwinkligen Dreieck
- Winkel: sin α = a ÷ c, cos α = b ÷ c; β = 90° − α.
- Fläche: A = a × b ÷ 2 – die Katheten sind zugleich Grundseite und Höhe.
- Höhe auf die Hypotenuse: h = a × b ÷ c.
- Hypotenusenabschnitte: p = a² ÷ c und q = b² ÷ c (Kathetensatz), mit h² = p × q (Höhensatz).
- Raumdiagonale eines Quaders: d = √(l² + b² + h²) – der Satz zweimal angewendet.
Häufige Fragen
Was besagt der Satz des Pythagoras?
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse so groß wie die Quadrate über den beiden Katheten zusammen: a² + b² = c². Die Hypotenuse c ist die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber, die Katheten a und b bilden den rechten Winkel.
Wie berechnet man die Hypotenuse?
Beide Katheten quadrieren, addieren und die Wurzel ziehen: c = √(a² + b²). Bei a = 3 und b = 4: √(9 + 16) = √25 = 5.
Wie berechnet man eine Kathete?
Hypotenuse quadrieren, das Quadrat der bekannten Kathete abziehen und die Wurzel ziehen: a = √(c² − b²). Bei c = 13 und b = 12: √(169 − 144) = √25 = 5.
Wofür braucht man den Satz des Pythagoras im Alltag?
Etwa um die Bildschirmdiagonale aus Breite und Höhe zu berechnen, die nötige Länge einer Leiter oder eines Dachsparrens zu bestimmen oder einen rechten Winkel abzustecken: Misst man 3 m, 4 m und 5 m ab, ist der Winkel zwischen den kurzen Seiten genau 90°.
Gilt der Satz des Pythagoras für jedes Dreieck?
Nein, nur für rechtwinklige Dreiecke. Für beliebige Dreiecke gilt der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab × cos γ – der Satz des Pythagoras ist sein Sonderfall für γ = 90°. Der Dreiecksrechner berechnet auch allgemeine Dreiecke.