Ergebnis
Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt. Die Einheiten sind optional und dienen nur der Darstellung des Rechenwegs.
So funktioniert der Dreisatz
Der Dreisatz löst Aufgaben, bei denen zwei Größen in einem festen Verhältnis zueinander stehen. Drei Zahlen sind bekannt, die vierte wird gesucht. Der Trick: Man rechnet zuerst auf eine Einheit zurück und dann auf die gesuchte Menge hoch.
- Bekanntes Verhältnis: 5 Stück ≙ 12,50 €
- Auf 1 schließen: 1 Stück ≙ 12,50 ÷ 5 = 2,50 €
- Auf die gesuchte Menge schließen: 8 Stück ≙ 2,50 × 8 = 20,00 €
Proportional: je mehr, desto mehr
Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere. Der Quotient B ÷ A bleibt gleich – das ist der Wert pro Einheit: Preis pro Stück, Kilometer pro Stunde, Gramm pro Person. Typische Aufgaben: Preise, Rezepte, Verbrauch, Lohn nach Stunden, Währungen, Maßstab.
Antiproportional: je mehr, desto weniger
Verdoppelt sich die eine Größe, halbiert sich die andere. Hier bleibt das Produkt A × B gleich. 4 Maler brauchen 6 Tage – 1 Maler braucht länger, nämlich 4 × 6 = 24 Tage. 8 Maler brauchen 24 ÷ 8 = 3 Tage. Typische Aufgaben: Arbeiter und Zeit, Geschwindigkeit und Fahrzeit, Pumpen und Dauer, Vorrat und Anzahl der Esser.
| Aufgabe | Art | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| 5 Brötchen kosten 2,00 €. Was kosten 12? | proportional | 2,00 ÷ 5 × 12 | 4,80 € |
| Rezept für 4 Personen: 300 g Mehl. Für 6 Personen? | proportional | 300 ÷ 4 × 6 | 450 g |
| 35 l Benzin kosten 60,20 €. Was kosten 50 l? | proportional | 60,20 ÷ 35 × 50 | 86,00 € |
| 8 Stunden Arbeit bringen 136 €. Wie viel bei 40 Stunden? | proportional | 136 ÷ 8 × 40 | 680 € |
| Bei 80 km/h dauert die Fahrt 3 h. Wie lange bei 120 km/h? | antiproportional | 80 × 3 ÷ 120 | 2 h |
| 4 Maler brauchen 6 Tage. Wie lange brauchen 8 Maler? | antiproportional | 4 × 6 ÷ 8 | 3 Tage |
| Futter für 12 Pferde reicht 20 Tage. Wie lange für 15 Pferde? | antiproportional | 12 × 20 ÷ 15 | 16 Tage |
Dreisatz mit Prozent, Maßstab und Währung
- Prozent: 100 % ≙ Grundwert. 100 % ≙ 80 €, also 25 % ≙ 80 ÷ 100 × 25 = 20 €.
- Maßstab 1 : 25.000: 1 cm auf der Karte ≙ 25.000 cm = 250 m. 4,8 cm ≙ 250 × 4,8 = 1.200 m.
- Währung: 1 € ≙ 1,08 US-Dollar, also 250 € ≙ 1,08 × 250 = 270 $.
- Verbrauch: 6,5 l auf 100 km, also auf 340 km: 6,5 ÷ 100 × 340 = 22,1 l.
Typische Fehler
- Falsche Richtung: Beim antiproportionalen Dreisatz wird im zweiten Schritt multipliziert, nicht dividiert. Prüfen Sie am Ende, ob das Ergebnis plausibel ist – mehr Maler müssen weniger Tage brauchen.
- Einheiten mischen: Minuten und Stunden, Gramm und Kilogramm erst in dieselbe Einheit umrechnen.
- Kein fester Zusammenhang: Nicht alles ist proportional. Doppelt so viele Köche kochen nicht doppelt so schnell, und ein Mengenrabatt macht den Stückpreis variabel.
Häufige Fragen
Was ist der Dreisatz?
Ein Rechenverfahren in drei Schritten, um aus einem bekannten Verhältnis einen unbekannten Wert zu bestimmen: 1. das bekannte Verhältnis aufschreiben, 2. auf eine Einheit zurückrechnen, 3. auf die gesuchte Menge hochrechnen. Beispiel: 5 Brötchen kosten 2,00 €. 1 Brötchen kostet 2,00 ÷ 5 = 0,40 €. 12 Brötchen kosten 12 × 0,40 = 4,80 €.
Wie lautet die Dreisatz-Formel?
Proportional: gesuchter Wert = bekannter Wert ÷ bekannte Menge × gesuchte Menge, also X = B ÷ A × C. Antiproportional: X = A × B ÷ C. Der Rechner zeigt beide Formeln mit Ihren Zahlen und den vollständigen Rechenweg über die Einheit.
Woran erkenne ich, ob ein Dreisatz proportional oder antiproportional ist?
Fragen Sie: Wenn die erste Größe doppelt so groß wird, wird die zweite dann auch doppelt so groß (proportional, „je mehr, desto mehr“) oder halb so groß (antiproportional, „je mehr, desto weniger“)? Mehr Brötchen kosten mehr Geld: proportional. Mehr Maler brauchen weniger Zeit: antiproportional.
Wie rechne ich den antiproportionalen Dreisatz?
Beim antiproportionalen Dreisatz ist das Produkt beider Größen konstant. 4 Maler brauchen 6 Tage, das sind 4 × 6 = 24 Malertage. 1 Maler bräuchte 24 Tage (× 4 statt ÷ 4). 8 Maler brauchen 24 ÷ 8 = 3 Tage. Die Rechenzeichen sind also genau umgekehrt wie beim proportionalen Dreisatz.
Wie hängen Dreisatz und Prozentrechnung zusammen?
Jede Prozentaufgabe ist ein Dreisatz, bei dem eine Seite 100 % ist. „Grundwert 80 € entspricht 100 %, wie viel sind 25 %?“ ergibt 80 ÷ 100 × 25 = 20 €. Umgekehrt: „20 € entsprechen 25 %, wie viel sind 100 %?“ ergibt 20 ÷ 25 × 100 = 80 €. Für solche Aufgaben gibt es den Prozentrechner.
Was ist ein zusammengesetzter Dreisatz?
Ein Dreisatz mit mehr als zwei Größen, zum Beispiel: 3 Arbeiter schaffen in 5 Tagen 60 m² – wie viel schaffen 4 Arbeiter in 8 Tagen? Man rechnet Schritt für Schritt: erst die Arbeiter ändern (60 ÷ 3 × 4 = 80 m² in 5 Tagen), dann die Tage (80 ÷ 5 × 8 = 128 m²). Mit diesem Rechner lösen Sie jeden Schritt einzeln.